Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）
（1）證明：數(shù)列{

2n

an

}是等差數(shù)列；           
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)b_n=（2n-1）（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明：數(shù)列{

2n

an

}是等差數(shù)列；           
（2）利用（1）求出

2n

an

的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n

解答： 解：（1）取倒數(shù)得：

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，兩邊同乘以2ⁿ⁺¹得：

2n+1

an+1

=1+

2n

an

，
所以數(shù)列{

2n

an

}是以

21

a1

=2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）∵{

2n

an

}是以

21

a1

=2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．，
∴

2n

an

=

2

1

+(n-1)×1，
即an=

2n

n+1

．
（3）由題意知：bn=(2n-1)•2n則前n項(xiàng)和為：Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
由錯(cuò)位相減得：-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1，
∴Sn=(2n-3)×2n+1+6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．