Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，D為AC上一點，∠ABD=30°，延長BD至E，連接AE、CE，若∠ECB=2∠EBC，則線段AE與CE的數(shù)量關(guān)系為

 

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Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用,立體幾何

分析：如圖所示，設(shè)O是△ABC的外心，連接OA，OB，OC，OD，OE．由∠ACB=30°，可得∠AOB=60°．△OAB是等邊三角形．又∠ABD=30°，可得∠OBD=30°．因此BE⊥OA且平分OA．設(shè)∠OCA=α，則∠AOD=∠OAD=α．可得∠DEC=180°-∠EBC-∠ECB=3α．∠COD+∠DEC=180°．可得D、O、C、E四點共圓．因此∠DCE=∠DOE=∠DAE．于是AE=EC．

解答： 解：如圖所示，設(shè)O是△ABC的外心，連接OA，OB，OC，OD，OE．
∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°．
∴△OAB是等邊三角形．
又∠ABD=30°，∴∠OBD=30°．
∴BE⊥OA且平分OA．
設(shè)∠OCA=α，則∠AOD=∠OAD=α．
∴∠ODC=2α．∠COD=180°-3α．
∠OBC=∠OCB=30°-α．
∴∠EBC=30°+30°-α=60°-α．∠ECB=2∠EBC=120°-2α．∠DEC=180°-∠EBC-∠ECB=3α
∴∠COD+∠DEC=180°．
∴D、O、C、E四點共圓．
∴∠DCE=∠DOE=∠DAE．
∴AE=EC．

點評：本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、四點共圓的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．