Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）． 則S₁₀₀=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出a_n=

n，n為奇數 ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數

，由此利用分組求和法能求出S₁₀₀．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]，
∴n=1時，2a₃=2a₁+4=6，解得a₃=3，
n=2時，4a₄=2a₂=2，解得a4=

1

2

，
n=3時，2a₅=2a₃+4=10，解得a₅=5，
n=4時，4a₆=2a₄=1，解得a₆=

1

4

，
當n為奇數時，不妨設n=2m-1，m∈N^*，則a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}為等差數列，
∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1，即a_n=n
當n為偶數時，設n=2m，m∈N^*，則2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}為等比數列，a_2m=（

1

2

）^m-1．
∴a_n=

n，n為奇數 ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數

，
∴S₁₀₀=（1+3+5+…+99）+（1+

1

2

+

1

4

+…+

1

249

）
=

50

2

(1+99)+

1×[1-( 1 2 )50]

1- 1 2

=2500+2-（

1

2

）⁴⁹
=2502-2^-49．
故答案為：2502-2^-49．

點評：本題考查數列的前100項和的求法，推導出a_n=

n，n為奇數 ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數

，是解題的關鍵，屬于難題．