Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）是否存在實(shí)數(shù)、，使得函數(shù)的定義域和值域都是？若存在，請求出，的值；若不存在，請說明理由．

（2）若存在實(shí)數(shù)，，使得函數(shù)的定義域是，值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不存在實(shí)數(shù)、滿足條件,（2）.

【解析】

（1）不存在實(shí)數(shù)、滿足條件．

事實(shí)上，若存在實(shí)數(shù)、，使得函數(shù)的定義域和值域都是，則有．

故．

（i）當(dāng)、時(shí)，在上 減函數(shù)，所以，，即．

由此推得與已知矛盾．

故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)、滿足條件．

（ii）當(dāng)、時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，，即．

于是，、是方程的實(shí)根．

而此方程無實(shí)根．

故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)、滿足條件．

（iii）當(dāng)，時(shí)，顯然，，而，所以，，矛盾．

故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)、滿足條件．

綜上可知，不存在實(shí)數(shù)、滿足條件．

（2）若存在實(shí)數(shù)、，使得函數(shù)的定義域是，值域是，易得，．

仿照（1）的解答可知，當(dāng)、或，時(shí)，滿足條件的、不存在．

只有當(dāng)、時(shí)，在上為增函數(shù)，有，即．

于是，、是方程的兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根．

所以，，只須．解得．

因此，的取值范圍是．