Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)在圓：上.
（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn).請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因?yàn)殡x心率為，可得，根據(jù)橢圓中關(guān)系式，可求。橢圓方程即可求出。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032438698386.png" style="vertical-align:middle;" />，則右頂點(diǎn)為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）設(shè)出直線方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，消掉y（或x）得到關(guān)于x的一元二次方程。再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032438761589.png" style="vertical-align:middle;" />是其中一個交點(diǎn)，所以方程的一個根為2。用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入圓方程。解出的值。若則說明存在滿足條件的直線可求出其方程，若，則說明不存在滿足條件的直線。法二：假設(shè)存在，由已知可得，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上可推導(dǎo)得，與矛盾，故假設(shè)不成立。
試題解析：（Ⅰ）由題意可得，                           1分
又由題意可得，
所以，                                          2分
所以,                                  3分
所以橢圓的方程為.                        4分
所以橢圓的右頂點(diǎn)，                            5分
代入圓的方程，可得,
所以圓的方程為.                       6分
（Ⅱ）法1：
假設(shè)存在直線:滿足條件，              7分
由得          8分
設(shè)，則,                         9分
可得中點(diǎn)，                           11分
由點(diǎn)在圓上可得
化簡整理得                                      13分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032439509403.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以不存在滿足條件的直線.                            14分
（Ⅱ）法2：
假設(shè)存在直線滿足題意.
由（Ⅰ）可得是圓的直徑，                          7分
所以.                                         8分
由點(diǎn)是中點(diǎn)，可得.                   9分
設(shè)點(diǎn)，則由題意可得.                 10分
又因?yàn)橹本�的斜率不為0，所以,                  11分
所以,           13分
這與矛盾，所以不存在滿足條件的直線.           14分