Question

（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側(cè)的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當(dāng)Ａ、B運動時，滿足＝，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

Answer 1

試題分析：（1）根據(jù)離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得得出AB的斜率為定值．
試題解析：（1）設(shè)C方程為（a＞b＞0），則。由，，得  故橢圓C的方程為。   4分
（2）①設(shè)（，），B（，），直線AB的方程為，代入中整理得，△＞0－4＜＜4，+=，=
四邊形APBQ的面積=，當(dāng)時
②當(dāng)＝時，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為，則PB的斜率為－，PA的直線方程為，代入中整理得
+=0，2+=，
同理2+=，+=，－=，
從而=，即直線AB的斜率為定值     13分