Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若a=-9，試證明函數(shù)f（x）在[3，+∞]是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若不等式f（x）≥1在x∈（0，2]上恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x-的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=-x+=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x-是奇函數(shù)．
（2）∵a=-9，∴f（x）=x-，
設(shè)3≤x₁≤x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+-=（x₁-x₂）•，
∵3≤x₁≤x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-9＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵x∈（0，2]，
∴f（x）≥1等價(jià)于x²-x+a≥0，
∵y=x²-x-a在x=處取得最小值，
∴a≤-．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-]．
分析：（1）由（x）=x-的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=-x+=-f（x），能夠判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）設(shè)3≤x₁≤x₂，推論出f（x₁）-f（x₂）＜0，由此能夠得到函數(shù)f（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由x∈（0，2]，知f（x）≥1等價(jià)于x²-x+a≥0，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．