Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=1，函數(shù)b≠0，函數(shù)g（x）=

1

3

bx³-bx，如果對任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使得f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a；
（Ⅱ）求出導數(shù)，對a討論，a≤0，a＞0分別令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域即可得到單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求出f（x）在（1，2）內(nèi)的值域，討論b＞0，b＜0，求出g（x）的值域，由已知得到f（x）的值域包含在g（x）的值域，即可得到b的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-ax的導數(shù)為f′（x）=

1

x

-a，
則在點（1，f（1））處的切線斜率為1-a，
由于切線與直線x-y+1=0垂直，則1-a=-1，
則a=2；
（Ⅱ）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增，
當a＞0時，f′（x）＞0時，0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0時，x＞

1

a

．
綜上，a≤0時，f（x）只有增區(qū)間：（0，+∞），
a＞0時，f（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

），減區(qū)間為（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）a=1時，f（x）=lnx-x，由（Ⅱ）知f（x）在（1，2）上遞減，則f（x）的值域為（ln2-2，-1），
由于g（x）=

1

3

bx³-bx的導數(shù)為g′（x）=b（x²-1），
則當b＞0時，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上遞增，g（x）的值域為（-

2

3

b，

2

3

b）；
當b＜0時，g′（x）＜0，g（x）在（1，2）上遞減，g（x）的值域為（

2

3

b，-

2

3

b）；
由于對任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使得f（x₁）=g（x₂），
則b＞0時，（ln2-2，-1）⊆（-

2

3

b，

2

3

b），則有-

2

3

b≤ln2-2，即有b≥3-

3

2

ln2；
b＜0時，（ln2-2，-1）⊆（

2

3

b，-

2

3

b），則有

2

3

b≤ln2-2，即有b≥

3

2

ln2-3．
綜上，可得實數(shù)b的取值范圍是（-∞≥

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性和運用：求最值和值域，考查任意和存在問題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，屬于中檔題和易錯題．