Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-b（a，b∈R，A＞1），e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=e，b=4時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，本題的導(dǎo)函數(shù)沒辦法分解因式等變形，因此研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，研究導(dǎo)數(shù)的最小值判斷符號；
（2）利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理，先利用零點(diǎn)定理大體確定區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)一步縮小根所在區(qū)間，確定整數(shù)k的值．

解答： 解：（1）f′（x）=a^xln a+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
∵a＞1，∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）=e^x+x²-x-4，∴f′（x）=e^x+2x-1，
∴f′（0）=0，
當(dāng)x＞0時，e^x＞1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
同理，f（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)．
又f（0）=-3＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，
當(dāng)x＞2時，f（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，
∴k=1滿足條件；
f（0）=-3＜0，f（-1）=

1

e

-2＜0，
f（-2）=

1

e2

+2＞0，
當(dāng)x＜-2時，f（x）＞0，
∴當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（-2，-1）內(nèi)，
∴k=-2滿足條件．
綜上所述，k=1或-2．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、以及零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．