Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx．
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若a≠

1

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知函數(shù)h（x）=（

1

2

a-1）x²-x+（2a+2）lnx，若h（x）=f（x）有唯一解，求正數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出導數(shù)，把a的值代入，找到單調(diào)區(qū)間，從而求出最小值，（2）分別討論當a=0時a≠0時的情況，求出單調(diào)區(qū)間，（3）由題意得出方程組，解出即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0），
當a=

1

2

時，f（x）=

1

4

x²-2x+2lnx，
∴f（x）=

(x-2)2

2x

≥0在[1，2]上恒成立，
∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-

7

4

，
（2）當a=0時，f′（x）=

2-x

x

，
∴f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
a≠0時，令f′（x）=0，解得：x=

1

a

，x=2，
a＜0時，f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，2），（

1

a

，+∞）遞增，在（2，

1

a

）遞減，
a＞

1

2

時，f（x）在（0，

1

a

），（2，+∞）遞增，在（

1

a

，2）遞減，
（3）記g （x）=f （x）-h （x）=x ²-2a lnx-2ax，
g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），
若方程f（x）=h（x）有唯一解，即g（x）=0在（0，+∞）上有唯一解；
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x₂=

a+ a2+4a

2

．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當x=x₂時，g′（x₂ ）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

，
兩式相減得2alnx₂+ax₂-a=0因為a＞0，
所以2lnx₂+x₂-1=0①，
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因為在x＞0時，h （x）是增函數(shù)，所以h （x）=0至多有一解．
因為h （1）=0，所以方程①的解為x₂=1，從而解得：a=

1

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用，是一道綜合題．