直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC=
2
，BB1=2，AC1與A1C交于一點(diǎn)P，延長B1B到D，使得BD=AB，連接DC，DA，得到如圖所示幾何體．
（Ⅰ）若AB=1，求證：BP∥平面ACD，
（Ⅱ）若直線CA1與平面BCC1B1所成的角為30°，求二面角D-AC-C1的余弦值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)E，連接PE，DE，證明四邊形DBPE為平行四邊形，從而BP∥平面ACD；
（Ⅱ）軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決．空間直角坐標(biāo)系
解答： （Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)E，連接PE，DE…1分
則PE
∥
.
1
2
CC1，∵BD=AB=1，BB1=2，∴BD=
1
2
BB1=
1
2
CC1，又∵BD∥CC1，∴BD
∥
.
1
2
CC1，∴PE
∥
.
BD，∴四邊形DBPE為平行四邊形，∴BP∥DE，…3分
∵BP?面ACD，DE?面ACD，…4分
∴BP∥平面ACD，…5分
（Ⅱ）解：由題意知，AB⊥BC，AB⊥BB1，∴AB⊥面BC1，∴A1B1⊥面BC1連接B1C，則∠A1CB1為直線CA1與平面BCC1B1所成的角，則∠A1CB1=30°，…6分
在Rt△A1B1C中，B1C=
4+2
=
6
，tanA1CB1
A1B1
B1C
=
A1B1
6
=
3
3
．∴A1B1=
2
…7分
以B為原點(diǎn)，分別以BC，BB1，AA1為x、y、z軸建立如圖所示的
空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，
2
），C（
2
，0，0），D（0，-
2
，0），
∴
AC
=（
2
，0，-
2
），
AD
=（0，-
2
，-
2
），…8分
設(shè)面ACD的法向量為
n1
=（x，y，z），則
2
x-
2
z=0
-
2
y-
2
z=0
即
x=z
y=-z
，取z=1，則
n1
=（1，-1，1）…9分
在平面ABC內(nèi)取面AC1的一個法向量
n2
=（x，0，z），則
n2
•
AC
=
2
x-
2
z=0，取x=1，則z=1，∴
n2
=（1，0，1）…10分
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
2
3
•
2
=
6
3
，…11分
由圖知二面角D-AC-C1為鈍角，二面角D-AC-C1的余弦值為-
6
3
…12分
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，圓周上有n個固定點(diǎn)，分別為A1，A2，…，An（n∈N*，n≥2），在每一個點(diǎn)上分別標(biāo)上1，2，3中的某一個數(shù)字，但相鄰的兩個數(shù)字不相同，記所有的標(biāo)法總數(shù)為an．
（1）寫出a2，a3，a4的值；
（2）寫出an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，且DC=2AD=2，E為PC上一點(diǎn)，PE：EC=1：2，
（Ⅰ）求證：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面PDB⊥平面ABC；
（Ⅲ） 若PD=2，AB=
3
，∠ABC=60°，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列且 b1=a1，b4=a1+a2+a3．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)Cn=
1
bnbn+1
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：Tn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={1，0，2x-1}，且x2∈A，求實數(shù)x及集合A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4
2
sin（θ+
π
4
）．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=-2+
1
2
t
y=-3+
3
2
t
（t為參數(shù)）．
（I）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x-8，g（x）=（x+1）（x-a），（a為常數(shù)）．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n（n+1），
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an
（2）數(shù)列{bn}的通項公式bn=
1
an•an+2
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2-（2a+1）x+2lnx．
（1）若a=
1
2
，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若a≠
1
2
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知函數(shù)h（x）=（
1
2
a-1）x2-x+（2a+2）lnx，若h（x）=f（x）有唯一解，求正數(shù)a的值．

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同步練習(xí)冊答案