Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）求不等式f（x）＜x+10的解集；
（2）如果關(guān)于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù)

專題：不等式

分析：（1）去掉絕對值，化簡f（x），求出不等式f（x）＜x+10的解集；
（2）設(shè)g（x）=a-（x-2）²，求出g（x）_max與f（x）_min；由f（x）≥g（x）在R上恒成立，得f（x）_min≥g（x）_max，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）去掉絕對值，f(x)=

-2x+4， x＜-1 6， -1≤x＜5 2x-4， x≥5

；
當(dāng)x＜-1時，由-2x+4≤x+10，解得x≥-2，∴-2≤x＜-1；
當(dāng)-1≤x＜5時，由6≤x+10，解得x≥-4，∴-1≤x＜5；
當(dāng)x≥5時，由2x-4≤x+10，解得x≤14，∴5≤x≤14；
綜上，不等式的解集為[-2，14]；---（5分）
（2）設(shè)g（x）=a-（x-2）²，則g（x）_max=g（2）=a，
而f（x）=|x+1|+|x-5|≥|（x+1）-（x-5）|=6，即f（x）_min=6；
∴f（x）≥g（x）在R上恒成立時，應(yīng)滿足f（x）_min≥g（x）_max，
∴a≤6；即a的取值范圍是{a|a≤6}．---（10分）

點評：本題考查了含有絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)恒成立問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，化含有絕對值的函數(shù)為分段函數(shù)，是中檔題．