Question

16．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，試問(wèn)該數(shù)列{a_n}是否有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+12n+10}{3{n}^{2}+12n}$，作差（3n²+12n）-（2n²+12n+10）=n²-10，即可比較出大小關(guān)系．

解答 解：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）（n+5）（\frac{2}{3}）^{n+1}}{n（n+4）（\frac{2}{3}）^{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+12n+10}{3{n}^{2}+12n}$．
（3n²+12n）-（2n²+12n+10）
=n²-10，
∴當(dāng)n=1，2，3時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1，a_n+1＞a_n，即a₁＜a₂＜a₃＜a₄；
當(dāng)n≥4時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，即a_n+1＜a_n，即a₄＞a₅＞a₆＞…．
∴當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列{a_n}有最大項(xiàng)a₄．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．