Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{x}$．
（1）判斷奇偶性，并給出證明；
（2）寫出單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）＞a對任意x∈[2，+∞）恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，求f（-x）和f（x）的關(guān)系；
（2）直接寫出即可，題中不要求證明；
（3）只需求f（x）的最小值即可，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=$\frac{（-x）^{2}+2}{-x}$=-$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）f（x）=x+$\frac{2}{x}$
∴函數(shù)在（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上遞增，在（-$\sqrt{2}$，0）和（0，$\sqrt{2}$）上遞減；
（3）由（2）知，函數(shù)在[2，+∞）上遞增，
∴f（x）≥f（2）=3＞a
∴a＜3．

點評 考察了奇函數(shù)的判斷方法和恒成立問題．