Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且n為奇數(shù)時，a_n+1=2a_n，n為偶數(shù)時，a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃并證明數(shù)列{a_2n-1+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2n+1項和S_2n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將n=1，2代入已知條件，求出a₂，a₃的值；由a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，得到a_2n+1+1=2（a_2n+1），據(jù)等比數(shù)列的定義證出數(shù)列{a_2n-1+1}為公比是2的等比數(shù)列；
（2）由（1）求出a2n-1=2n-1代入前2n+1項和S_2n+1．利用分組求和及等比數(shù)列的前n項和公式求出．

解答： 解：（1）a₂=2a₁=2，a₃=a₂+1=3，
∵a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，
∴a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），
∴數(shù)列{a_2n-1+1}為公比是2的等比數(shù)列；
（2）S_2n+1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+a_2n+1+a_2n+1
=3a₁+3a₃+…+3a_2n-1+a_2n+1
由（1）知，
∴a2n-1+1=2n，
∴a2n-1=2n-1
∴S2n+1=3[(2-1)+(22-1)+…+(2n-1）]+a2n+1=3(2

1-2n

1-2

-n)+2n+1-1=2ⁿ⁺³-3n-7

點評：本題考查利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法，屬于一道中檔題．