Question

【題目】設函數(shù)， .

（1）當時， 在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(]

【解析】試題分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到實數(shù) 的取值范圍；
（2）當 時，易得函數(shù) 的解析式，由方程的根與對應函數(shù)零點的關系，易轉(zhuǎn)化為 在上恰有兩個相異實根，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點存在定理，構造關于 的不等式組，解不等式組即可得到答案．

試題解析：（1）當時，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

當，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴，∴實數(shù)的取值范圍為；

（2）當時，函數(shù)，

在上恰有兩個不同的零點，即在上恰有兩個不同的零點，

令，則，

當， ；當， ，

∴在上單減，在上單增， ，

又， 如圖所示，所以實數(shù)的取值范圍為(]