Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線垂直于軸，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極小值為0；（Ⅱ），證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出求出，進而求出的解，得出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)論；

（Ⅱ）代入解析式得函數(shù)值為0，整理得，轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，只需證，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性只需證，構(gòu)造函數(shù)，，利用單調(diào)性證明恒成立，即可證明結(jié)論.

（Ⅰ），

，∴，∴，

令，，

，

∴的極小值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有兩個零點，，

必須有且最小值

，

∴，∴，∴，

又∵當(dāng)時，；

當(dāng)時，，∴，

此時，，

∴，，

∴，

要證：，即證：，

即證：，即證：，

即證：，

不妨設(shè)，∴，∴，

即證：，

即證：，

令

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，

∴在上為增函數(shù)，

∴，∴成立，

∴成立.