Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線過右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（均不為頂點(diǎn)）

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的右頂點(diǎn)，直線，若直線與直線交于點(diǎn)直線與直線交于點(diǎn)，試判斷是否為定值，若是，求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值為0．

【解析】

（1）由直線過右焦點(diǎn)，求得，可得，由離心率公式可得，結(jié)合，，的關(guān)系可得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)出直線，設(shè)，，求得，的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的加減和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)整理，再由直線和橢圓方程聯(lián)立，消去，可得的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，計(jì)算可得所求定值．

（1）直線過右焦點(diǎn)，

，

．

又橢圓C的離心率為，

，

，

則．

橢圓C的方程為

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，

則．

當(dāng)軸時(shí)，．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為．

由（1）知，，

設(shè)，，，，

則，

，，，．

易知，，三點(diǎn)共線，

，

可得，

解得；

同理，可得

聯(lián)立直線與橢圓C的方程，得，整理得，

，．

則

，

．

又，

綜上所述，是定值，定值為．