【題目】如圖所示,已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的點,且BE⊥B1C.
(1)求CE的長;
(2)求證:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B與平面BDE夾角的正弦值.
【答案】
(1)解:如圖所示,以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),
B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).
設E點坐標為(0,2,t),則 =(﹣2,0,t), =(﹣2,0,﹣4).
∵BE⊥B1C,∴ =4+0﹣4t=0.
∴t=1,故CE=1
(2)證明:由(1)得,E(0,2,1), =(﹣2,0,1),
又 =(﹣2,2,﹣4), =(2,2,0)
∴ =4+0﹣4=0,且 =﹣4+4+0=0.
∴ ⊥ 且 ⊥ ,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,
又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE,即A1C⊥平面BED
(3)解:由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一個法向量.
又 =(0,2,﹣4),
∴cos< , >= = .
∴A1B與平面BDE夾角的正弦值為 .
【解析】(1)建立空間直角坐標系,求出 、 ,利用 =0,即可求得結論;(2)證明 ⊥ 且 ⊥ ,可得A1C⊥DB,A1C⊥BE,從而可得A1C⊥平面BED;(3)由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求A1B與平面BDE夾角的正弦值.
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起并連接AC形成三棱錐C﹣ABD,其正視圖、俯視圖均為等腰直角三角形(如圖所示),則三棱錐C﹣ABD的表面積為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(理)如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結論:
① + + + = ;
② + ﹣ ﹣ = ;
③ ﹣ + ﹣ = ;
④ = ;
⑤ =0,
其中正確結論是( )
A.①②③
B.④⑤
C.②④
D.③④
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【題目】如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長為的等邊三角形, ,點是的中點.
(1)求證: 平面 ;
(2)點 在 上,且滿足 ,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系 中,過橢圓 右焦點 的直線交橢圓于兩點 , 為 的中點,且 的斜率為 .
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設過點 的直線 (不與坐標軸垂直)與橢圓交于 兩點,問:在 軸上是否存在定點 ,使得 為定值?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某小學對五年級的學生進行體質測試,已知五年一班共有學生30人,測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如圖(單位:cm): 男生成績在175cm以上(包括175cm)定義為“合格”,成績在175cm以下(不包括175cm)定義為“不合格”.
女生成績在165cm以上(包括165cm)定義為“合格”,成績在165cm以下(不包括165cm)定義為“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳遠成績的中位數(shù);
(2)在五年一班的男生中任意選取3人,求至少有2人的成績是合格的概率;
(3)若從五年一班成績“合格”的學生中選取2人參加復試,用X表示其中男生的人數(shù),寫出X的分布列,并求X的數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓: 的短軸長為,右焦點為,點是橢圓上異于左、右頂點的一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線交于點,線段的中點為,證明:點關于直線的對稱點在直線上.
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