Question

（本小題滿分14分）若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求的極值；

（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1） 極小值為，無極大值；（2） 函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

【解析】

試題分析：（1）由已知中函數(shù)h（x）和φ（x）的解析式，求出函數(shù)F（x）的解析式，根據(jù)求導公式，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值;

（2）由（1）可知，函數(shù)h（x）和φ（x）的圖象在（e）處相交，即和的隔離直線,尋么該直線必過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k,則隔離直線方程程為：y-e=k（x-）,即y=kx-k +e，根據(jù)隔離直線的定義，構(gòu)造方程，可求出k值，進而得到隔離直線方程．

試題解析：（1） ，

．

當時，． ------3分

當時，，此時函數(shù)遞減；

當時，，此時函數(shù)遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為．

（2）【解析】
由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當時恒成立．

， 由，得．

下面證明當時恒成立．

令，則

， 當時，．

當時，，此時函數(shù)遞增；

當時，，此時函數(shù)遞減；

∴當時，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．