已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F作垂直于x軸的直線交此拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4．
（Ⅰ）  求此拋物線的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)Q（2，0）的直線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，若存在另一動(dòng)點(diǎn)G，使得直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數(shù)列，試說明動(dòng)點(diǎn)G一定在定直線上．
【答案】分析：（Ⅰ）通過通經(jīng)長為4，可得，p=2，進(jìn)而求出拋物線的方程．
（Ⅱ）先設(shè)出過點(diǎn)Q（2，0）的直線方程，因?yàn)榇嬖诹硪粍?dòng)點(diǎn)G，使得直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數(shù)列，分別求出直線GC，GQ，GD的斜率，再根據(jù)直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數(shù)列，找出等式，求解．
解答：解：（Ⅰ）∵過F作垂直于x軸的直線交此拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4．∴2p=4，p=2
∴拋物線的方程為y2=4x
（Ⅱ）設(shè)C（x1，y1），D（X2，Y2）
  設(shè)過點(diǎn)Q（2，0）的直線方程為x=ky+2，由得y1+y2=4k，y1y2=-8
   設(shè)G（x，y），kGC+kGD=+=+
=①
   kGQ=2②，
   化簡得x=-2
   所以動(dòng)點(diǎn)G一定在定直線x=-2上．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真對待．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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