Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）若AB過M點(diǎn)，設(shè)直線AB：x-2p=my，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（2）若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答：證明：（1）若AB過M點(diǎn)，設(shè)直線AB：x-2p=my．  
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+2p y2=2px

，可得y²-2pmy-4p²=0
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=

16p4

4p2

-4p2=0，
∴OA⊥OB
（2）若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n．
由

x=my+n y2=2px

，可得y²-2pmy-2pn=0
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直線AB：x=my+2p過定點(diǎn)（2p，0）．
∴直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．