Question

求函數(shù)f（x）=

1

2

mx2+2x+mlnx的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：求導函數(shù)，對參數(shù)m進行討論，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)的定義域{x|x＞0}，f′（x）=mx+2+m•

1

x

=

mx2+2x+m

x

令f′（x）=0，即mx²+2x+m=0
（1）當m=0時，f′（x）＞0，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)；
（2）當△=4（1-m²）≤0，解得m≥1或m≤-1，
當m≥1時，f′（x）≥0，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
當m≤-1時，f′（x）≤0，則函數(shù)在定義域上為減函數(shù)；
（3）當0＜m＜1時，mx²+2x+m=0兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）為負數(shù)，所以函數(shù)在定義域上為增函數(shù)
當-1＜m＜0時，mx²+2x+m=0兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）異號
x₁=

-1+ 1-m2

m

＜0，x₂=

-1- 1-m2

m

＞0        
函數(shù)f（x）在（0，

-1- 1-m2

m

）上為增函數(shù)，在（

-1- 1-m2

m

，+∞）上為減函數(shù)．       
綜上所述：當m≥0時，函數(shù)y=f（x） 的增區(qū)間為（0，+∞）；
當m≤-1時，函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間（0，+∞）；
當-1＜m＜0時，函數(shù)的增區(qū)間為（0，

-1- 1-m2

m

），減區(qū)間為（

-1- 1-m2

m

，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．