【題目】已知數(shù)列的前項積為,滿足. 數(shù)列的首項為,且滿足.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)記集合,若集合的元素個數(shù)為,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù)使得成立?如果存在,請寫出滿足的條件,如果不存在,請說明理由.
【答案】(1),bn=2n;(2);(3)答案不唯一,見解析
【解析】
(1)當(dāng)時,;當(dāng)時,,即可的的通項公式,由可得,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,即可求出的通項公式;
(2)參變分離,構(gòu)造函數(shù)列,判斷其增減性,即可求出的取值范圍;
(3)假設(shè)存在,根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列,利用公式求出其前項和,對分類討論.
(1)因為,所以當(dāng)時,
而當(dāng)時,適合上式,所以,因為,即
所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,所以,所以.
(2)由(1)知,不等式即為
設(shè)
因為
而
要使只有2解,則有
(3)假設(shè)存在正整數(shù),因為
所以有若,則不成立,
所以,,若為奇數(shù),當(dāng)時,,不成立,.
當(dāng)時,設(shè),, 則 .
若q為偶數(shù),設(shè),,則,因為,所以.
綜上所述,當(dāng)為大于1的奇數(shù)時,,;
當(dāng)q為偶數(shù)時,不存在.
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【題目】已知條件P:①是奇函數(shù);②值域為R;③函數(shù)圖象經(jīng)過第四象限。則下列函數(shù)中滿足條件Р的是( )
A.B.C.D.
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【題目】橢圓的離心率是,過點做斜率為的直線,橢圓與直線交于兩點,當(dāng)直線垂直于軸時.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)變化時,在軸上是否存在點,使得是以為底的等腰三角形,若存在求出的取值范圍,若不存在說明理由.
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【題目】某區(qū)在2019年教師招聘考試中,參加、、、四個崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:
崗位 | 男性應(yīng)聘人數(shù) | 男性錄用人數(shù) | 男性錄用比例 | 女性應(yīng)聘人數(shù) | 女性錄用人數(shù) | 女性錄用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
總計 | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)從表中所有應(yīng)聘人員中隨機抽取1人,試估計此人被錄用的概率;
(2)將應(yīng)聘崗位的男性教師記為,女性教師記為,現(xiàn)從應(yīng)聘崗位的6人中隨機抽取2人.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設(shè)為事件“抽取的2人性別不同”,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】設(shè)函數(shù),
(1) 若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列滿足.
(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,若,且對任意的正整數(shù)n,都有,求整數(shù)的值;
(3)設(shè)數(shù)列滿足,若,且存在正整數(shù)s,t,使得是整數(shù),求的最小值.
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【題目】已知有窮數(shù)列,,,,.若數(shù)列中各項都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列,定義如下操作過程:從中任取兩項,,將的值添在的最后,然后刪除,,這樣得到一個項的新數(shù)列(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程,得到的新數(shù)列記作,,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.
(1)設(shè),,請寫出的所有可能的結(jié)果;
(2)求證:對于一個項的數(shù)列操作總可以進(jìn)行次;
(3)設(shè),,,,,,,,,求的可能結(jié)果,并說明理由.
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【題目】中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道流到下部容器,如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為( )
A.2 cmB. cmC. cmD. cm
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【題目】設(shè)函數(shù)、的定義域均為,若對任意,且,具有,則稱函數(shù)為上的單調(diào)非減函數(shù),給出以下命題:① 若關(guān)于點和直線()對稱,則為周期函數(shù),且是的一個周期;② 若是周期函數(shù),且關(guān)于直線對稱,則必關(guān)于無窮多條直線對稱;③ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無窮多個點中心對稱,則的圖象是一條直線;④ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無窮多條平行于軸的直線對稱,則是常值函數(shù);以上命題中,所有真命題的序號是_________
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