設(shè)a＞2，給定數(shù)列{an}，a1=a，an+1=（n∈N+）．求證：an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．
【答案】分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，證明n=k+1時(shí)不等式也成立即可．
解答：證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞2，
（1）當(dāng)n=1，a1=a＞2，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即ak＞2，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a k+1-2
=＞0，
即ak+1＞2，
由（1）（2）可知對n∈N+時(shí)都有an＞2．
當(dāng)an＞2，==＜=1，
所以an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，注意第二步證明時(shí)用上假設(shè)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n=1，2…)求證：
（1）xn＞2，且
xn+1
xn
＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1，2…)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{an}，a1=a，an+1=
an22(an-1)
（n∈N+）．求證：an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{an}，a1=a，an+1an=an+1+
1
2
a
2
n
(n∈N*)
（1）求證：an＞2；
（2）求證：數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x 1=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n∈N*)求證：
（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年重點(diǎn)中學(xué)模擬理）  （12分）設(shè)a>2，給定數(shù)列求證：

   （1），且

   （2）如果。

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