Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{a_n}，a1=a，an+1an=an+1+

1

2

a

2 n

(n∈N*)
（1）求證：a_n＞2；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出a_n+1=

an2

2(an-1)

．利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（2）可利用作差比較、作商比較法證明．

解答：證明：（1）由an+1an=an+1+

1

2

a

n 2

(n∈N*)得a_n+1=

an2

2(an-1)

用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a＞2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k＞2．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1-2=

ak2-4ak+4

2(ak-1)

=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，即a_k+1＞2
由①②可知a_n＞2成立．
（2）證法一：
a_n+1-a_n=

an2

2(an-1)

-an=

an(2- an )

2(an-1)

＜0，
由（1）a_n＞2，∴a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
證法二：
由（1）a_n＞2，

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2(1- 1 an )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1，
∴a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，不等式的證明．考查轉(zhuǎn)化、推理、論證能力．