Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x 1=a，xn+1=

x 2 n

2(xn-1)

(n∈N*)求證：
（1）x_n＞2，且x_n+1＜x_n（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞2，證題時采用作差法即可；證明x_n+1＜x_n，利用作商法與1比較即可；
（2）利用（1）先證明xn+1-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

1

2

(xn-2)(

xn-2

xn-1

)＜

1

2

(xn-2)(n∈N*)，再采用放縮法即可證得．

解答：證明：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞2
當(dāng)n=1時，x₁=a＞2命題成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時命題成立，即x_k＞2，且x_k+1＜x_k．
當(dāng)n=k+1時，xk+1-2=

x 2 k

2(xk-1)

-2=

(xk -2)2

2(xk-1)

＞0
即x_k+1＞2
綜上對一切n∈N^*，有x_n＞2．（4分）
當(dāng)x_n＞2時，

xn+1

xn

=

xn

2(xn-1)

=

1

2(1- 1 xn )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1
∴x_n+1＜x_n（n∈N^*）（6分）
（2）因為x_n＞2，所以

xn-2

xn-1

=1-

1

xn-1

∈(0，1)．
故xn+1-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

1

2

(xn-2)(

xn-2

xn-1

)＜

1

2

(xn-2)(n∈N*)（10分）
由此可得xn-2≤

1

2

(xn-1-2)≤

1

22

(xn-2-2)≤…≤(x1-2)

1

2n-1

=(a-2)

1

2n-1

，
∴xn≤2+

a-2

2n-1

當(dāng)2＜a≤3時，xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)（12分）

點評：本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，放縮法，解題時要根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟證明．