Question

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，且.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）因為 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，則
方程有兩個不同的零點，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，                         
當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以在時取得最小值．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     
于是，所以，，所以．所以 當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以在上的最小值為，此時.
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，
∴ 方程有兩個不同的零點，  
令．
，
當(dāng)時，，是減函數(shù)；
當(dāng)時，，是增函數(shù)，
∴在時取得最小值．
∴．
（Ⅱ）∵，即，
∴
于是，
∴
∵，
∴．
∴ 當(dāng)時，，是減函數(shù)；
當(dāng)時，，是增函數(shù)
∴在上的最小值為，此時.
考點：1.函數(shù)中證明問題；3.函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.