Question

【題目】已知，記為正整數(shù)a的各位數(shù)字之和。試求正整數(shù)t的最小值，使得在任意t個連續(xù)的正整數(shù)中總能找到一個數(shù)c，滿足。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè).則

當10(a+1)時，f(a+1)=f(a)+1；

當時，

.

首先證明：在任意個連續(xù)正整數(shù)中，總能找到一個數(shù)c，滿足m|f(c).

若這t個數(shù)中有的倍數(shù)，設(shè)其為.

則f(a)=f(b)=s.

由，其中，u=0，1,...,8；v=0,1,...,k，知的f值為

，

其中，必有一個為9k+r的倍數(shù).

由，其中，u=0，1,...,9；u=0,1,...,k，知的f值為

，

其中，必有一個為9k+r的倍數(shù).

若這t個數(shù)中沒有的倍數(shù)，則其中有的倍數(shù).設(shè)最小的倍數(shù)為a,f(a)=s.

同上，知的f值為，其中，必有一個為9k+r的倍數(shù).

綜上，在個連續(xù)正整數(shù)中必有一數(shù)c，滿足m|f(c).

從而，.

其次，分三種情形求.

1 當r=1,2,4,5,7,8時，.

下面構(gòu)造個連續(xù)正整數(shù)，使得其中沒有數(shù)c，滿足mlf(c).

取，滿足(9k+r)|(9i+1).則在中，只有首尾兩數(shù)的f值是9k+r的倍數(shù).故中間的個連續(xù)正整數(shù)中沒有數(shù)c，滿足(9k+r)|f(c).

2 當r=3,6時，.

因個連續(xù)正整數(shù)中必有一數(shù)c，滿足(9k+r)|f(c).此時，3|f(c).而的末尾三數(shù)中各自只有一個數(shù)是3的倍數(shù)，故在連續(xù)個數(shù)A中首尾共個數(shù)可以去掉，即在個連續(xù)正整數(shù)中必有一數(shù)c，滿足(9h+r)|f(c).

下面構(gòu)造個連續(xù)正整數(shù)，使得其中沒有數(shù)c，滿足m|f(c).

取，滿足(9k+r)|(9i+3)，則在至這個連續(xù)正整數(shù)中沒有數(shù)c，滿足(9k+r)|f(c).

3 當r=9時，.

類似(2)知，9|f(c)且的末尾九個數(shù)中各自只有一個數(shù)是9的倍數(shù).

故在個連續(xù)正整數(shù)中必有一數(shù)c，滿足9(k+1)|f(c)，且在

至這個連續(xù)正整數(shù)中沒有數(shù)c，滿足9(k+1)|f(c).