【題目】如圖,給定由個(gè)點(diǎn)組成的正三角形點(diǎn)陣。在其中任意取三個(gè)點(diǎn),以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的概率為__________。

【答案】

【解析】

設(shè)正三角形點(diǎn)陣的凸包為正,邊長為.

首先,計(jì)算正△DEF的個(gè)數(shù),其中,D、E、F為上述正三角形點(diǎn)陣內(nèi)的點(diǎn).

如圖,將AB、AC分別延長到點(diǎn),使得.將分成n等份.

對正三角形點(diǎn)陣內(nèi)任一點(diǎn)X,過X作AB、AC的平行線與的交點(diǎn),并分別記為.

下面分兩種情形.

1.正△DEF與正△ABC的對應(yīng)邊平行,則正△DEF與邊上有序三點(diǎn)組一一對應(yīng),有個(gè)正三角形.

2.正△不與正△ABC對應(yīng)邊平行,作正△的外接正△DEF,使得正△DEF與正△ABC的對應(yīng)邊平行,則正與邊B’C’上有序四點(diǎn)組一一對應(yīng),有個(gè)正三角形.

綜上,共有個(gè)正三角形.

從而,所求概率為.

故答案為:

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓過點(diǎn),焦距長,過點(diǎn)的直線交橢圓,兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)在軸上是否存在一點(diǎn),使得為定值.

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【題目】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率;

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系:

年入流量

發(fā)電量最多可運(yùn)行臺數(shù)

1

2

3

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn),圓.

1)若直線過點(diǎn)且到圓心的距離為,求直線的方程;

2)設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)(的斜率為負(fù)),當(dāng)時(shí),求以線段為直徑的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況,在這些樹苗中隨機(jī)抽取了120株測量高度(單位:cm),經(jīng)統(tǒng)計(jì),樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi),將其按,,,, 分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當(dāng)?shù)匕貥涿缟L規(guī)律,高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹苗.

1)求圖中的值;

2)用樣本估計(jì)總體,頻率代替概率,若從這批樹苗中隨機(jī)抽取4株,其中優(yōu)質(zhì)樹苗的株數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,為正整數(shù)a的各位數(shù)字之和。試求正整數(shù)t的最小值,使得在任意t個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中總能找到一個(gè)數(shù)c,滿足。

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【題目】已知函數(shù),其中a為正實(shí)數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,求證:.

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【題目】隨著網(wǎng)購人數(shù)的日益增多,網(wǎng)上的支付方式也呈現(xiàn)一種多樣化的狀態(tài),越來越多的便捷移動支付方式受到了人們的青睞,更被網(wǎng)友們評為“新四大發(fā)明”之一.隨著人們消費(fèi)觀念的進(jìn)步,許多人喜歡用信用卡購物,考慮到這一點(diǎn),一種“網(wǎng)上的信用卡”橫空出世——螞蟻花唄.這是一款支付寶和螞蟻金融合作開發(fā)的新支付方式,簡單便捷,同時(shí)也滿足了部分網(wǎng)上消費(fèi)群體在支付寶余額不足時(shí)的“賒購”消費(fèi)需求.為了調(diào)查使用螞蟻花唄“賒購”消費(fèi)與消費(fèi)者年齡段的關(guān)系,某網(wǎng)站對其注冊用戶開展抽樣調(diào)查,在每個(gè)年齡段的注冊用戶中各隨機(jī)抽取100人,得到各年齡段使用螞蟻花唄“賒購”的人數(shù)百分比如圖所示.

1)由大數(shù)據(jù)可知,在1844歲之間使用花唄“賒購”的人數(shù)百分比y與年齡x成線性相關(guān)關(guān)系,利用統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù),以各年齡段的區(qū)間中點(diǎn)代表該年齡段的年齡,求所調(diào)查群體各年齡段“賒購”人數(shù)百分比y與年齡x的線性回歸方程(回歸直線方程的斜率和截距保留兩位有效數(shù)字);

2)該網(wǎng)站年齡為20歲的注冊用戶共有2000人,試估算該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購”的人數(shù);

3)已知該網(wǎng)店中年齡段在18-26歲和27-35歲的注冊用戶人數(shù)相同,現(xiàn)從1835歲之間使用花唄“賒購”的人群中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人,再從這8人中簡單隨機(jī)抽取2人調(diào)查他們每個(gè)月使用花唄消費(fèi)的額度,求抽取的兩人年齡都在1826歲的概率.

參考答案:,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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