Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程：

（2）若非零實(shí)數(shù)a使得f（x）axax2對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=0；（2）（0，1].

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；

（2）根據(jù)題意可構(gòu)造，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解．

（1），

由題意可得，，，

故曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）令，，

則，

因?yàn)?/span>，

若，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然不滿(mǎn)足題意；

若，

當(dāng)即時(shí)，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值

，解可得，，

從而可得，，

當(dāng)即時(shí)，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得極小也是最小值，

解可得，故．

綜上可得，的范圍．