【題目】, , .
(1)證明:存在唯一實(shí)數(shù),使得直線和曲線相切;
(2)若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求的范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),得到+x0﹣2=0.設(shè)h(x)=ex+x﹣2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x0的值,判斷結(jié)論即可;
(2)根據(jù)a(x﹣)<1,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值,通過(guò)討論a的范圍,求出滿足條件的a的范圍即可.
試題解析:
(1)設(shè)切點(diǎn)為,
則, ,①
和相切,則, ,②
所以,
即,令, ,所以單增,
又因?yàn)?/span>, ,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得,且,
所以只存在唯一實(shí)數(shù),使①②成立,即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切.
(2)令,則,所以,
令,則,由(Ⅰ)可知, 在上單減,在單增,且,故當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), .
當(dāng)時(shí),因?yàn)橐笳麛?shù)解,所以在時(shí), ,所以有無(wú)窮多整數(shù)解,舍去;
當(dāng)時(shí), ,又, ,所以兩個(gè)整數(shù)解為0,1,即所以,即;
當(dāng)時(shí), ,因?yàn)?/span>, 在內(nèi)大于或等于1,所以無(wú)整數(shù)解,舍去.
綜上, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 : ( )的離心率 ,直線 被以橢圓 的短軸為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)過(guò)點(diǎn) 的直線 交橢圓于 , 兩個(gè)不同的點(diǎn),且 ,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出5人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,再?gòu)倪@5人中選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,求作重點(diǎn)發(fā)言的2人中,至少1人是女生的概率.
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),若存在正實(shí)數(shù)滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若時(shí), 不單調(diào),求的取值范圍;
(2)設(shè),若, 時(shí), 時(shí), 有最小值,求最小值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】漢字聽寫大會(huì)不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機(jī)”,弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某市大約10萬(wàn)名市民進(jìn)行了漢字聽寫測(cè)試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民的聽寫測(cè)試情況,發(fā)現(xiàn)被測(cè)試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組:第1組,第2組,,第6組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
若電視臺(tái)記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪,求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率;
試估計(jì)該市市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù);
已知第4組市民中有3名男性,組織方要從第4組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣傳隊(duì),求至少有1名女性市民的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下問(wèn)題最終結(jié)果用數(shù)字表示
(1)由0、1、2、3、4可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)?
(2)由1、2、3、4、5組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且2、3不相鄰的五位數(shù)?
(3)由1、2、3、4、5組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1,2,3必須按由大到小順序排列的五位數(shù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線∶和圓∶,是直線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為.
(1)若,求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若圓上存在點(diǎn),使得,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,求線段長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足, ,則不可能是( )
A. -1 B. 0
C. 2 D. 3
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