Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若數(shù)列{bn}滿足bn=2nan ， Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，是否存在正實數(shù)k，使不等式knSn＞3bn對于一切的n∈N*恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

∴ =

（2）解 ①

∴ ②

由（1），知f（x）+f（1﹣x）=1，

∴①+②，得2an=（n+1），

∴

（3）解：因為 ，

∴ ①

2Sn=221+322+423+…+n2n﹣1+（n+1）2n，②

①﹣②得，

即 ，

要使得不等式knSn＞3bn恒成立，

即2kn2＞3（n+1）對于一切的n∈N*恒成立，

即 對一切的n∈N*恒成立，

令 ，

因為 在n∈N*是單調(diào)遞增的，

∴ 的最小值為2+ = ，

∴ ，

∴k＞3

【解析】（1）由函數(shù)f（x）= ，代入化簡，可得f（x）+f（1﹣x）=1，（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用倒序相加法，可得 ；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，利用錯位相減法，可得Sn的表達(dá)式，進(jìn)而再由孤立參數(shù)法，可得k的取值范圍；
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題．