某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是:①建1米新墻的費(fèi)用為a元;②修1米舊墻的費(fèi)用是元;③拆去1米舊墻,用所得的材料建1米新墻的費(fèi)用為元.經(jīng)討論有兩種方案:(1)利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形廠房一面的邊長(zhǎng);(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14.

問(wèn)如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最?(1)(2)兩種方案哪個(gè)更好?

分析:以建墻費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù),通過(guò)討論函數(shù)的最小值來(lái)解決本題.

解:設(shè)利用舊墻的一面矩形的邊長(zhǎng)為x,則矩形的另一面邊長(zhǎng)為米.

(1)利用舊墻的一段x米(x<14為矩形一面邊長(zhǎng),則修舊墻費(fèi)用為x·元,將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14-x)·元,其余建新墻的費(fèi)用為(2x+-14)·a元.故總費(fèi)用為y=·a+·a+(2x+-14)·a=a(+-7)=7a(+-1)(0<x<14),

∴y≥7a[2-1]=35a,當(dāng)且僅當(dāng)=即x=12米時(shí),ymin=35a.

(2)若利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)為x米(x≥14),則修舊墻的費(fèi)用為·14=a元,建新墻的費(fèi)用為(2x+-14)a元,故總費(fèi)用為y=a+(2x+-14)a=a+2a(x+-7)(x≥14).

∴y′=2a(1-)=,當(dāng)x≥14時(shí)y′>0.

∴函數(shù)y=a+2a(x+-7)在[14,+∞]上為增函數(shù).故當(dāng)x=14時(shí),

ymin=a+2a(14+-7)=35.5a.

綜上討論知:采用第(1)方案,利用舊墻12米為矩形的一面邊長(zhǎng)時(shí),建墻總費(fèi)用最省,為35a元.


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