Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過定點（p，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，l₁與拋物線交于P，Q兩點，l₂與拋物線交于M，N兩點，設l₁的斜率為k．若某同學已正確求得弦PQ的中垂線在y軸上的截距為，則弦MN的中垂線在y軸上的截距為________．

Answer 1

-2pk-pk³
分析：根據點斜式知道直線l₂的方程為y=，設出M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則根據M，N在拋物線y²=2px（p＞0）知：，①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂），根據斜率得到MN的中點坐標，從而得到弦MN的中垂線方程，即可求解
解答：設出M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∵M，N在拋物線y²=2px（p＞0）
∴
①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂）
∵=
∴y₁+y₂=-2kp
∵M，N在直線l₂：y=上
∴x₁+x₂=2p（k²+1）
即弦MN的中點坐標為（p（k²+1），-kp）
∵過定點（p，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，l₁與拋物線交于P，Q兩點，l₂與拋物線交于M，N兩點，設l₁的斜率為k
∴
∴弦MN的中垂線的斜率為k
∴弦MN的中垂線的方程為：y+kp=k（x-p（k²+1）），
令x=0得y=-2pk-pk³
故答案為：-2pk-pk³
點評：本題考查了兩直線垂直的條件，直線與圓錐曲線位置關系，一元二次方程的根系關系．此類題是直線與圓錐曲線的位置關系中一類常見的題型，屬于基礎題．