Question

2．用數(shù)字0、2、3、4、6按下列要求組數(shù)、計(jì)算：
（1）能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
（2）可以組成多少個(gè)可以被3整除的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
（3）求2×3×4×6即144的所有正約數(shù)的和．（注：每小題結(jié)果都寫成數(shù)據(jù)形式）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、對于百位，百位數(shù)字只能是2、3、4、6中之一，②、百位數(shù)字確定后，在剩下的4個(gè)數(shù)字中選取2個(gè)，排在十位和個(gè)位，計(jì)算出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）由題意，能被3整除的且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6組成，據(jù)此分4種情況討論，求出每一步的選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分析可得144=2⁴×3²，進(jìn)而由約數(shù)和公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、對于百位，百位數(shù)字只能是2、3、4、6中之一，有C₄¹種選法，
②、百位數(shù)字確定后，在剩下的4個(gè)數(shù)字中選取2個(gè)，排在十位和個(gè)位，則十位和個(gè)位數(shù)字的組成共有$A_4^2$種方法，
故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有${N_1}=C_4^1A_4^2=48$個(gè)；
（2）由題意，能被3整除的且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6組成．
分4種情況討論：
①、三位數(shù)由2、4、0組成，首位數(shù)字有2、4兩種情況，在剩下的3個(gè)數(shù)字中選取2個(gè)，排在十位和個(gè)位，此時(shí)共有C₂¹A₂²種選法；
②、三位數(shù)由2、4、3組成，將3個(gè)數(shù)字全排列，排在百位、十位和個(gè)位，此時(shí)有A₃³種選法；
③、三位數(shù)由2、4、6組成，將3個(gè)數(shù)字全排列，排在百位、十位和個(gè)位，此時(shí)有A₃³種選法；
④、三位數(shù)由0、3、6組成，首位數(shù)字有3、6兩種情況，在剩下的3個(gè)數(shù)字中選取2個(gè)，排在十位和個(gè)位，此時(shí)共有C₂¹A₂²種選法；
共有${N_2}=C_2^1A_2^2+2A_3^3+C_2^1A_2^2=20$個(gè)被3整除的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，
（3）根據(jù)題意，144=2⁴×3²，
則144的所有正約數(shù)的和為${N_3}=（1+2+{2^2}+{2^3}+{2^4}）（1+3+{3^2}）=403$．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，（3）的關(guān)鍵是正確運(yùn)用約數(shù)和公式．