【題目】已知函數(shù),對任意的,滿足,其中為常數(shù).
(Ⅰ)若,求在處的切線方程;
(Ⅱ)已知,求證;
(Ⅲ)當(dāng)存在三個不同的零點時,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)代入,然后求出函數(shù)在處的切線方程
(Ⅱ)寫出的表達(dá)式,令,根據(jù)的取值范圍,得到的單調(diào)性,即可得證
(Ⅲ)對求導(dǎo),討論在不同的的取值范圍下的單調(diào)性,進(jìn)而討論其零點的個數(shù),即可求出存在三個不同零點時的取值范圍。
(Ⅰ)在中,取,得,
又,所以.
從而,
,,
又切點為,所以切線方程為.
(Ⅱ)證明:
令,
則
所以,時,,單調(diào)遞減,
故時,
所以時,
(Ⅲ)
①當(dāng)時,在(0,+∞)上,,遞增,
所以,至多有一個零點,不合題意;
②當(dāng)時,在(0,+∞)上,,遞減,
所以,也至多有一個零點,不合題意;
③當(dāng)時,令,
解得
此時,在上遞減,上遞增,上遞減,
所以,至多有三個零點.
因為在上遞增,所以.
又因為,所以,使得
又,
所以恰有三個不同的零點:.
綜上所述,當(dāng)存在三個不同的零點時,的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=AB,則下列結(jié)論正確的是_____.(填序號)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④sin∠PDA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地海軍航空實驗班面向全省遴選學(xué)員,有名初中畢業(yè)生踴躍報名投身國防,經(jīng)過文化考試、體格測試、政治考核、心理選拔等過程篩選,最終招收名學(xué)員。培養(yǎng)學(xué)校在關(guān)注學(xué)員的文化素養(yǎng)同時注重學(xué)員的身體素質(zhì),要求每月至少參加一次野營拉練活動(下面簡稱“活動”)并記錄成績.月某次活動中海航班學(xué)員成績統(tǒng)計如圖所示:
(1)根據(jù)圖表,試估算學(xué)員在活動中取得成績的中位數(shù)(精確到);
(2)根據(jù)成績從、兩組學(xué)員中任意選出兩人為一組,若選出成績分差大于,則稱該組為“幫扶組”,試求選出兩人為“幫扶組”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓,軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長.
(1)求實數(shù)b的值;
(2)設(shè)C2與軸的交點為M,過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A、B,直線MA、MB分別與C1交于點D、E.
①證明:;
②記△MAB,△MDE的面積分別是若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是 _________ .
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【題目】男運動員6名,女運動員4名,其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)男運動員3名,女運動員2名;
(2)至少有1名女運動員;
(3)隊長中至少有1人參加;
(4)既要有隊長,又要有女運動員.
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【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進(jìn)機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元), 表示購機的同時購買的易損零件數(shù).
(Ⅰ)若=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值;
(Ⅲ)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運動”是一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶只需以運動手環(huán)或手機協(xié)處理器的運動數(shù)據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號,就能看見自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機選取朋友圈中的50人,記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù)/步 | 10000以上 | ||||
男生人數(shù)/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人數(shù)/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極性”,否則為“懈怠性”.
(1)以這50人這一天行走的步數(shù)的頻率代替1人一天行走的步數(shù)發(fā)生的概率,記表示隨機抽取3人中被系統(tǒng)評為“積極性”的人數(shù),求和的數(shù)學(xué)期望.
(2)為調(diào)查評定系統(tǒng)的合理性,擬從這50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系統(tǒng)評定為“積極性”的有4人,“懈怠性”的有2人,從中任意選取3人,記選到“積極性”的人數(shù)為;
其中女性中被系統(tǒng)評定為“積極性”和“懈怠性”的各有2人,從中任意選取2人,記選到“積極性”的人數(shù)為;求的概率.
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