【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)若時(shí),函數(shù)處的切線經(jīng)過點(diǎn),求的值;

(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)詳見解析(Ⅲ)

【解析】

(I)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線斜率,切點(diǎn)坐標(biāo) ,即可求解切線的方程,進(jìn)而求解得值;

(II)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化為 ,分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)由得:,得,由已知,設(shè)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由可知在區(qū)間上至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,得到在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)也存在零點(diǎn).則在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn),由(II)可知,列出不等式組,即可求解.

(I)時(shí),,

∴切線斜率,切點(diǎn)坐標(biāo) ∴切線方程

∵切線經(jīng)過點(diǎn),∴

(II)∵.

單調(diào)遞增,∴

,即時(shí),,所以單調(diào)遞增區(qū)間為

②當(dāng),即時(shí),,所以單調(diào)遞減區(qū)間為

③當(dāng)時(shí),令,得

,得,令,得

∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上①②③可得:

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅲ)由得:,∴

由已知,設(shè)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),

則由可知,在區(qū)間上至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)也存在零點(diǎn).

在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).

由(II)可知,

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,故內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,故內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

,

此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增

,∵,

,令;令;

單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

恒成立.

時(shí)恒成立.

∴由,∴

的取值范圍是

練習(xí)冊系列答案
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(1)請完成下表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)?

對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計(jì)

對商品好評

140

對商品不滿意

10

合計(jì)

200

(2)若針對服務(wù)的好評率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易,并從中選擇兩次交易進(jìn)行客戶回訪,求只有一次好評的概率.

附:,其中n=a+b+c+d.

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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