Question

已知函數(shù)上為增函數(shù)，且，，．
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；
（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為，極大值；
（3）的取值范圍為．

試題分析：（1）利用在上恒成立，
轉(zhuǎn)化成在上恒成立，從而只需，
即，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，得到，求得；
（2）研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，一般遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，討論區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定單調(diào)性及極值”，利用“表解法”，往往形象直觀，易于理解.
（3）構(gòu)造函數(shù)，
討論，時(shí)，的取值情況，根據(jù)在上恒成立，得到在上單調(diào)遞增，利用大于0，求得.
試題解析：（1）由已知在上恒成立，
即，∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴只有，由知；            4分
（2）∵，∴，，
∴，
令，則，
∴，和的變化情況如下表：

	+	0
		極大值

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為，有極大值；
7分
（3）令，
當(dāng)時(shí)，由有，且，
∴此時(shí)不存在使得成立；
當(dāng)時(shí)，，
∵，∴，又，∴在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，∴，
令，則，
故所求的取值范圍為．                          12分