Question

已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為．

（1）求橢圓的方程及雙曲線的離心率；

（2）在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若．求證：．

 

Answer 1

（1），；（2）見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，解即可；

（2）①由（1），設(shè)，利用與的面積相等，可得為的中點(diǎn)．于是得到點(diǎn)坐標(biāo)為，把坐標(biāo)代入方程即可解得；

②當(dāng)P為時(shí)，利用點(diǎn)斜式得到，與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，只要與點(diǎn)的橫坐標(biāo)線段即可．

試題解析：

（1）由已知，解之得：

∴橢圓的方程為，雙曲線的方程 又

∴雙曲線的離心率．

（2）由（1）

設(shè)則由得M為BP的中點(diǎn)

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為 將M、P坐標(biāo)代入方程得：

消去得： 解之得：或（舍）

由此可得：

當(dāng)時(shí)，，

即： 代入，得：

或（舍）

MN⊥x軸，即

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合問題．