Question

試用兩種不同的方法證明如下不等式：若x，y，z∈R，則(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,分析法,綜合法

分析：利用分析法、綜合法證明即可．

解答： 解：分析法：要證明(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

，
只需證明：（x+y+z）²≤3（x²+y²+z²），
只需證明：2xy+2xz+2yz≤2（x²+y²+z²），
只需證明：（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0，
顯然成立，
∴(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

，
綜合法：∵（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0，
∴2xy+2xz+2yz≤2（x²+y²+z²），
∴（x+y+z）²≤3（x²+y²+z²），
∴(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會不同方法間的區(qū)別聯(lián)系，屬于中檔題．