Question

已知數(shù)列{x_n}滿足：x₁=

5

3

，x_n+1=

xn2+1

2xn

（n∈N^*）．記b_n=log₂（

xn-1

xn+1

）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=-nb_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和公式T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法對數(shù)列求和即可．

解答： 解：（1）

xn+1-1

xn+1+1

=

x 2 n +1 2xn -1

x 2 n +1 2xn +1

=

x 2 n -2xn+1

x 2 n +2xn+1

=(

xn-1

xn+1

)2 …（2分）
于是log₂(

xn-1

xn+1

)2=2log₂（

xn+1-1

xn+1+1

），即b_n+1=2b_n，又由條件知x₁=

5

3

，
故b₁=log₂（

5 3 -1

5 3 +1

）=-2，
所以數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列．于是b_n=-2ⁿ，
所以．數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=-2ⁿ．           …（5分）
（II）由（I）知，b_n=-2ⁿ，故c_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
于是-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，…（10分）
即 T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
所以，數(shù)列{c_n}的前n項和公式T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

點評：本題主要考查利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列及利用錯位相減法對數(shù)列求和知識，屬中檔題．