【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明恒成立.

【答案】（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將恒成立問題，轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)最值之間的問題，進(jìn)而求解.

（1）由題意得，.

①當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：

要證，只需證.

又，故只需證即可.

設(shè)，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

設(shè)，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以.

又，所以.

又因為，所以，

所以，

故在上，，

綜上，恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP，學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影響．已知該APP積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累計3分鐘積2分，每日上限積6分．經(jīng)過抽樣統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示．

（1）現(xiàn)隨機抽取1人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率；

（2）現(xiàn)隨機抽取3人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，過點作交于點，以為折痕把折起，當(dāng)幾何體的的體積最大時，則下列命題中正確的個數(shù)是（ ）

①

②∥平面

③與平面所成的角等于與平面所成的角

④與所成的角等于與所成的角

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《厲害了，我的國》是2018年在我國各影院上映的一部非�；鸬碾娪凹o(jì)錄片，該部影片主要講述了我國近幾年的發(fā)展現(xiàn)狀和成就，影片通過講述中國故事，刻畫中國面貌，弘揚了中國精神，引起了國民的高度關(guān)注，上映僅半個月影片票房就突破了3億元，刷新了我國紀(jì)錄片的票房紀(jì)錄，某市一電影院為了解該影院觀看《厲害了，我的國》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機抽取了40名觀眾數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：

年齡/歲

[10，20）

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70）

[70，80）

人數(shù)

6

8

12

6

4

2

2

（1）求所調(diào)查的40名觀眾年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數(shù)，將《厲害了，我的國》的電影票票價提高20元/張，并允許購買電影票的觀眾抽獎3次，中獎1次、2次、3次分別獎現(xiàn)金20元、30元、60元，設(shè)觀眾每次中獎的概率均為，則觀眾在3次抽獎中所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望是多少元（結(jié)果保留整數(shù)）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列滿足4Sn=an2+2an+1．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．

（1）設(shè)∠O1AO =(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；

（2）請你設(shè)計θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三個校區(qū)分別位于扇形OAB的三個頂點上，點Q是弧AB的中點，現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P（不與點O，Q重合），為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，記∠APQ＝θrad，地下電纜管線的總長度為y千米．

（1）將y表示成θ的函數(shù)，并寫出θ的范圍；

（2）請確定工作坑P的位置，使地下電纜管線的總長度最小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，已知PA，PB，PC兩兩垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱錐P﹣ABC的體積為10.

（1）求點A到直線BC的距離；

（2）若D是棱BC的中點，求異面直線PB，AD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某人經(jīng)營淡水池塘養(yǎng)草魚，根據(jù)過去期的養(yǎng)殖檔案，該池塘的養(yǎng)殖重量(百斤)都在百斤以上，其中不足百斤的期，不低于百斤且不超過百斤的有期，超過百斤的有期.根據(jù)統(tǒng)計，該池塘的草魚重量的增加量(百斤)與使用某種餌料的質(zhì)量(百斤)之間的關(guān)系如圖所示.

魚的重量(單位:百斤)

沖水機運行臺數(shù)

1

2

3

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程；如果此人設(shè)想使用某種餌料百斤時，草魚重量的增加量須多于百斤，請根據(jù)回歸方程計算，確定此方案是否可行？并說明理由.

（2）養(yǎng)魚的池塘對水質(zhì)含氧與新鮮度要求較高，故養(yǎng)殖戶需設(shè)置若干臺增氧沖水機，每期養(yǎng)殖使用的沖水機運行臺數(shù)與魚塘的魚重量有關(guān)，并有如下關(guān)系:

若某臺增氧沖水機運行，則該臺沖水機每期盈利千元；若某臺沖水機未運行，則該臺沖水機每期虧損千元.以頻率 作為概率，養(yǎng)殖戶欲使每期沖水機總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝幾臺增氧沖水機？

附:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，.

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