Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，已知PA，PB，PC兩兩垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱錐P﹣ABC的體積為10.

（1）求點(diǎn)A到直線BC的距離；

（2）若D是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線PB，AD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）arccos

【解析】

（1）先根據(jù)已知的體積和棱長求出，結(jié)合直角三角形的知識可求點(diǎn)A到直線BC的距離；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求.

（1）在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，

∵PB＝3，PC＝4，且三棱錐P﹣ABC的體積為10.

∴VP﹣ABC＝VA﹣PBC10，解得PA＝5，

過P作PO⊥BC，交BC于O，連結(jié)PO，如圖，

由三垂線定理得AO⊥BC，

∵，∴PO，

∴點(diǎn)A到直線BC的距離：

AO.

（2）以P為原點(diǎn)，PC，PB，PA所在直線分別為x軸， y軸， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，，0），

（0，3，0），（2，，﹣5），

設(shè)異面直線PB，AD所成角的大小為θ，

則cosθ.

∴異面直線PB，AD所成角的大小為arccos.