Question

已知函數，其中a，b∈R

(1)求函數f(x)的最小值；

(2)當a＞0，且a為常數時，若函數h(x)＝x[g(x)＋1]對任意的x1＞x2≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍；

(3)當時，若對x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.

 

Answer 1

(1)；(2)時，，時，；(3)1

【解析】

試題分析：(1)利用導數判斷出函數的單調性，即可求出的最小值；(2)解決本題的關鍵是由“對任意的x1＞x2≥4，總有成立”得出“在上單調遞增”，從而再次轉化為導函數大于0的問題求解；(3)通過構造函數，轉化為對恒成立，于是轉化為求在上的最大值問題求解.解題過程中要注意對參數的合理分類討論.

試題解析：(1)∵，令，得

∴在(0，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增

∴在處取得最小值

即； 4分

(2)由題意，得在上單調遞增

∴在上恒成立

∴在上恒成立 5分

構造函數

則

∴F(x)在上單調遞減，在上單調遞增

(i)當，即時，F(x)在上單調遞減，在上單調遞增

∴

∴，從而 7分

(ii)當，即時，F(x)在(4，＋∞)上單調遞增

，從而 8分

綜上，當時，，時，； 9分

(3)當時，構造函數

由題意，有對恒成立

∵

(i)當時，

∴在上單調遞增

∴在上成立，與題意矛盾. 11分

(ii)當時，令

則，由于

①當時，，在上單調遞減

∴，即在上成立

∴在上單調遞減

∴在上成立，符合題意 12分

②當時，

∴在上單調遞增，在上單調遞減

∵

∴在成立，即在成立

∴在上單調遞增

∴在上成立，與題意矛盾 13分

綜上，a的最小值為1 14分

考點：導數，函數的單調性，范圍與最值，分類與整合.