【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若,求證:函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù);

(Ⅱ)求函數(shù)[1,e]上的最小值及相應的.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:)代入,求導,通過導數(shù)恒為正值進行證明;()求導,通過討論參數(shù)的取值,研究函數(shù)的極值點與所給區(qū)間的關系,進而研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性和極值、最值進行求解.

試題解析:(Ⅰ)當a=﹣2時,f(x)=x2﹣2lnx,當x∈(1,+∞),,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ),當x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].

a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非負(僅當a=﹣2,x=1時,f'(x)=0),

故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時[f(x)]min=f(1)=1.

若﹣2e2<a<﹣2,當時,f'(x)=0;當時,f'(x)<0,

此時f(x)是減函數(shù);當時,f'(x)>0,此時f(x)是增函數(shù).

[f(x)]min==

a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(僅當a=﹣2e2,x=e時,f'(x)=0),

故函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),此時[f(x)]min=f(e)=a+e2

綜上可知,當a≥﹣2時,f(x)的最小值為1,相應的x值為1;

當﹣2e2<a<﹣2時,f(x)的最小值為,相應的x值為;

a≤﹣2e2時,f(x)的最小值為a+e2,相應的x值為e

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