Question

【題目】若正數(shù)x，y滿足15x﹣y=22，則x3+y3﹣x2﹣y2的最小值為 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：由正數(shù)x，y滿足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，則x＞ ，y＞0， 又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），
其中y3﹣y2+ y=y（y2﹣y+ ）=y（y﹣ ）2≥0，
即y3﹣y2≥﹣ y，
當(dāng)且僅當(dāng)y= 時(shí)取得等號(hào)，
設(shè)f（x）=x3﹣x2 ， f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
當(dāng)x= 時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為 ×（ ﹣2）= ，
可得f（x）在x= 處的切線方程為y= x﹣ ．
由x3﹣x2≥ x﹣ （x﹣ ）2（x+2）≥0，
當(dāng)x= 時(shí)，取得等號(hào)．
則x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥ x﹣ ﹣ y≥ ﹣ =1．
當(dāng)且僅當(dāng)x= ，y= 時(shí)，取得最小值1．
故答案為：1．
由題意可得x＞ ，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣ y，當(dāng)且僅當(dāng)y= 時(shí)取得等號(hào)，設(shè)f（x）=x3﹣x2 ， 求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求最小值．