Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知：，橢圓：，為橢圓右頂點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，直線與的另一交點(diǎn)為，其中.設(shè)直線，的斜率分別為，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）記直線，的斜率分別為，，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

設(shè)，代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)即可求出答案

通過(guò)聯(lián)立直線的方程和圓的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線和直線的斜率，看是否兩個(gè)斜率之間有關(guān)系，即可得證

（Ⅰ）設(shè)則，且，

∴ k1k2＝·＝＝＝－.

（Ⅱ）解　由題意得直線AP的方程為y＝k1(x－2)，聯(lián)立

得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，設(shè)P(xp，yp)，

解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝，

聯(lián)立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，設(shè)B(xB，yB)，

解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，

∴kBC＝＝，kPQ＝＝＝，

∴kPQ＝kBC，故存在常數(shù)λ＝，使得kPQ＝kBC，