【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經(jīng)P到C所用時間與的函數(shù)解析式；

（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由．

【答案】（1），定義域為（2）17.68

【解析】

試題分析：（1）由輪船航行的方位角為，可得，，由直角三角形的性質及三角函數(shù)的定義可得，，所以，則由經(jīng)到 所用時間與的函數(shù)關系為，可得函數(shù)的定義域為，其中銳角的正切值為；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可得在上遞減，在上遞增，（），所以可得時函數(shù)取得最小值，此時 ≈17.68.

試題解析：（1）由題意，輪船航行的方位角為θ，所以，，則，．． 由A到P所用的時間為，由P到C所用的時間為，所以由A經(jīng)P到C所用時間與θ的函數(shù)關系為．函數(shù)的定義域為，其中銳角的正切值為.

（2）由（1），，，，令，解得，設θ0，使

θ0

0

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

所以，當時函數(shù)f(θ)取得最小值，此時BP=≈17.68，

答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點，所用時間最少．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）當，求的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，網(wǎng)絡電商已經(jīng)悄然進入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的消費方式為了更好地服務民眾，某電商在其官方APP中設置了用戶評價反饋系統(tǒng)，以了解用戶對商品狀況和優(yōu)惠活動的評價現(xiàn)從評價系統(tǒng)中隨機抽出200條較為詳細的評價信息進行統(tǒng)計，商品狀況和優(yōu)惠活動評價的2×2列聯(lián)表如下：

對優(yōu)惠活動好評

對優(yōu)惠活動不滿意

合計

對商品狀況好評

100

20

120

對商品狀況不滿意

50

30

80

合計

150

50

200

（I）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為優(yōu)惠活動好評與商品狀況好評之間有關系？

（Ⅱ）為了回饋用戶，公司通過APP向用戶隨機派送每張面額為0元，1元，2元的三種優(yōu)惠券用戶每次使用APP購物后，都可獲得一張優(yōu)惠券，且購物一次獲得1元優(yōu)惠券，2元優(yōu)惠券的概率分別是，，各次獲取優(yōu)惠券的結果相互獨立若某用戶一天使用了APP購物兩次，記該用戶當天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)

P（K2≥k）

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：K2，其中n＝a+b+c+d

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公園欲將一塊空地規(guī)劃成如圖所示的區(qū)域，其中在邊長為20米的正方形內種植經(jīng)紅色郁金香，在正方形的剩余部分（即四個直角三角形內）種植黃色郁金香．現(xiàn)要在以為邊長的矩形內種植綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積．設，米．

（1）求與之間的函數(shù)關系式；

（2）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，已知E，F，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點．

（1）求證：EF∥平面ABHG；

（2）求證：平面ABHG⊥平面CFED．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】網(wǎng)絡游戲要實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，必須要發(fā)展綠色網(wǎng)游.為此，國家文化部將從內容上對網(wǎng)游作出強制規(guī)定，國家信息產(chǎn)業(yè)部還將從技術上加強對網(wǎng)游的強制限制，開發(fā)限制網(wǎng)癮的疲勞系統(tǒng)，現(xiàn)已開發(fā)的“游戲防沉迷系統(tǒng)”規(guī)則如下：

①小時以內（含小時）為健康時間，玩家在這段時間內獲得的累積經(jīng)驗值（單位：）與游戲時間（小時）滿足關系式：（為常數(shù)）；

②小時到小時（含小時）為疲勞時間，玩家在這段時間內獲得的經(jīng)驗值為（即累積經(jīng)驗值不變）；

③超過小時為不健康時間，累積經(jīng)驗值開始損失，損失的經(jīng)驗值與不健康時間成正比例關系，比例系數(shù)為.

（1）當時，寫出累積經(jīng)驗值與游戲時間的函數(shù)關系式，并求出游戲小時的累積經(jīng)驗值；

（2）定義“玩家愉悅指數(shù)”為累積經(jīng)驗值與游戲時間的比值，記作；若，開發(fā)部門希望在健康時間內，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從甲乙兩班各隨機抽取10名同學,如圖所示的莖葉圖記錄了這20名同學在2018年高考語文作文題目中的成績(單位:分).已知語文作文題目滿分為60分,“分數(shù)分,為及格:分數(shù)分,為高分”,若甲乙兩班的成績的平均分都是44分.

(1)求,的值;

(2)若分別從甲乙兩班隨機各抽取1名成績?yōu)楦叻值膶W生,求抽到的學生中,甲班學生成績高于乙班學生成績的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合，對于的一個子集，若存在不大于的正整數(shù)，使得對中的任意一對元素、，都有，則稱具有性質.

（1）當時，試判斷集合和是否具有性質？并說明理由；

（2）當時，若集合具有性質.

①那么集合是否一定具有性質？并說明理由；

②求集合中元素個數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.

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