Question

【題目】如圖,在三棱錐D﹣ABC中,O為線段AC上一點,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO為等腰直角三角形,斜邊AO=4.

(Ⅰ)求證:AC⊥BD;

(Ⅱ)將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)16π

【解析】

(Ⅰ)推導(dǎo)出，取AO中點E,連結(jié)DEBE,，則，從而 AC⊥平面BDE ，即可得證(Ⅱ)由題意將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體是以2為底面半徑,2為高的兩公共底面的錐，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積.

(Ⅰ)證明:∵△ADO,△ABO為等腰直角三角形,斜邊AO=4.

∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,

取AO中點E,連結(jié)DEBE,如圖,

則DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,

∴AC⊥平面BDE,

又BD平面BDE,∴AC⊥BD.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,

∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,

∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,

∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜邊AO=4,

∴BO=DO=4,DE=2,BE=2,

∴將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體是以2為底面半徑,2為高的兩公共底面的錐,

∴將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為:16π.